Золотой экю Людовика XII с солнцем над короной.
Монета экю с изображением солнца над короной, Людовик XII, 1498 · Classical Numismatic Group, Inc.; Wikimedia Commons · Источник · CC BY-SA 3.0

Рассмотрим старинную французскую задачу о трёх братьях:

«Три брата имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю. Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале».

Примечание. Экю (фр. écu) — название средневековых золотых и серебряных монет Франции.

Эта, на первый взгляд, простая задача стала классикой рекреационной математики. Её арифметическое решение требует «обратного путешествия во времени» — от конца к началу.

Решение 1 (арифметическое: обратный ход)

Рассуждения удобно начать с конца и решение можно представить в виде следующей таблицы.

Брат После третьего обмена После второго обмена После первого обмена Вначале
I 8 \frac{8}{2}=4 \frac{4}{2}=2 2+\frac{14}{2}+\frac{8}{2}=13
II 8 \frac{8}{2}=4 4+\frac{4}{2}+\frac{16}{2}=14 \frac{14}{2}=7
III 8 8+\frac{8}{2}+\frac{8}{2}=16 \frac{16}{2}=8 \frac{8}{2}=4

Ответ: Сначала у каждого было соответственно 13, 7 и 4 экю.

Решение 2 (алгебраическое: система линейных уравнений)

Попробуйте сначала решить самостоятельно и лишь затем сравните своё решение.

Алгебраическое решение можно выполнить следующим образом.

Обозначим первоначальные деньги за x, y, z экю.

После первого обмена у них стало экю: x-y-z, 2y, 2z.

После второго обмена у братьев соответственно 2x-2y-2z, -x+3y-z, 4z экю.

Средняя сумма получена упрощением выражения 2y-(x-y-z)-2z.

После третьего обмена у каждого стало по 8 экю. Для первых двух братьев суммы удваиваются, а третий отдаёт им деньги из своих 4z экю:

\begin{aligned} 4x-4y-4z &= 8\\ -2x+6y-2z &= 8\\ -x-y+7z &= 8 \end{aligned}

В третьей строке из 4z вычитаем суммы, отданные первым двум братьям: 2x-2y-2z и -x+3y-z.

Решая эту систему трёх уравнений с тремя неизвестными, получим: x=13, y=7, z=4.

Примечания

Эта задача встречается в некоторых сборниках старинных и занимательных задач, например:

  1. Баврин И. И. Сборник задач и занимательных упражнений по математике, 5–9 классы. — М.: ВЛАДОС, 2013. — 236 с.

  2. Люка Эдуард. Математические развлечения. — С.-Петербург: Издание Ф. Павленкова, 1883. — 204 с.

«Обратный ход» и сейчас много где применяется: от алгоритмов до квестов.

  • Компьютерные алгоритмы: Метод обратного хода используется в динамическом программировании.

  • Образование: Такие задачи включают в математические олимпиады для обучения нестандартному мышлению.

  • Квесты-головоломки.

Ранее опубликовано: «Старинная французская задача».