Картина (1895) Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского»
Картина (1895) Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» · Источник

Многие любители математики знают картину Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» (1895).

На картине изображён известный народный учитель, просветитель, профессор Московского университета, ботаник и математик Сергей Александрович Рачинский вместе со своими учениками.

В 70-х годах XIX века Рачинский на волне движения народничества оставил свою карьеру, жильё в Москве, работу профессора, и уехал в родное село Татево в Смоленской губернии (ныне Тверской области). Он до конца жизни преподавал математику и другие предметы в народной школе для крестьянских детей. Рачинский разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам основы математического мышления. Художник Богданов-Бельский, кстати, был одним из его учеников.

На доске написана арифметическая задача на устный счёт:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) ÷ 365

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Попробуйте сначала решить её устно, в уме.

А для приобретения опыта решения подобных задач, мы вам предлагаем ещё один красивый метод «последовательностей Рачинского», который он придумал самостоятельно и использовал для создания задач на устный счёт.

Посмотрите внимательно на числовые тождества Рачинского и постарайтесь заметить закономерности, заложенные в них:

3^{2} + 4^{2} = 5^{2} = 25
10^{2} + 11^{2} + 12^{2} = 13^{2} + 14^{2} = 365
21^{2} + 22^{2} + 23^{2} + 24^{2} = 25^{2} + 26^{2} + 27^{2} = 2030

1) В каждом тождестве используется нечётное количество подряд идущих натуральных чисел (Обозначим это количество 2k + 1, через n — первое число. Тогда это числа n, n + 1, n + 2, … , n + 2k).

2) Сумма квадратов первых k + 1 чисел равна сумме квадратов последних k чисел:

n^{2} + (n + 1)^{2} + … + (n + k)^{2} = (n + k + 1)^{2} + ... + (n + 2k)^{2}

Такая последовательность натуральных чисел называется «последовательностью Рачинского».

На первый взгляд никакая закономерность (какая связь между числами n и k, чему равна сумма левых и правых частей у разных тождеств) не проглядывается.

Но эту закономерность можно найти, использовав алгебраические уравнения.

При k = 1 получается уравнение: n² + (n + 1)² = (n + 2)², откуда следует квадратное уравнение n² − 2n − 3 = 0. Его корни n = 3, n = −1.

При n = 3 получается первая последовательность Рачинского из трёх чисел: 3² + 4² = 5² = 25.

При n = −1 (но это число не натуральное) получается тождество 1 = 1.

Аналогично исследуются следующие уравнения.

При k = 2: n² + (n + 1)² + (n + 2)² = (n + 3)² + (n + 4)², n² − 8n − 20 = 0. Его корни n = 10, n = −2.

При n = 10 получается вторая последовательность Рачинского из пяти чисел:

10^{2} + 11^{2} + 12^{2} = 13^{2} + 14^{2} = 365.

Именно она и используется для решения задачи на картинке: (365 + 365)/365 = 2.

Далее предлагаем самостоятельно построить последовательность Рачинского из семи чисел:

21^{2} + 22^{2} + 23^{2} + 24^{2} = 25^{2} + 26^{2} + 27^{2} = 2030

Ну и решите общие вопросы:

1) Найдите квадратное уравнение, положительный корень n которого выражается явно через k и даёт последовательность Рачинского из 2k + 1 чисел.

Это означает, что для заданного целого k ≥ 1 существует только одна последовательность Рачинского.

2) Докажите, что последовательные разности чисел n = n(k) образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.

3) Найдите выражения S(k), выражающие левую и правую часть k-го тождества Рачинского: S(k) = n² + (n + 1)² + … + (n + k)².

Прежде чем смотреть решение ниже, попытайтесь всё же найти ответы самостоятельно! :)

Решение

n^2+\sum_{j=1}^{k}(n+j)^2=\sum_{j=1}^{k}(n+k+j)^2
n^2+\sum_{j=1}^{k}(n^2+2nj+j^2)=\sum_{j=1}^{k}\bigl((n+k)^2+2(n+k)j+j^2\bigr)
(k+1)n^2+2n\sum_{j=1}^{k}j+\sum_{j=1}^{k}j^2=k(n+k)^2+2n\sum_{j=1}^{k}j+2k\sum_{j=1}^{k}j+\sum_{j=1}^{k}j^2

Сократим обе части на одинаковые члены

2n\sum_{j=1}^{k}j+\sum_{j=1}^{k}j^2

Используем известную формулу:

\sum_{j=1}^{k}j=\frac12k(k+1)
(k+1)n^2=k(n+k)^2+k^2(k+1)

Получим квадратное уравнение:

n^2-2nk^2-k^2(2k+1)=0

Его корни:

n=2k^2+k\quad\text{или}\quad n=-k

При n=2k^2+k получим искомую последовательность Рачинского из 2k+1 натуральных чисел. Случай n=-k не рассматривается, так как это не натуральное число.

  1. Полученное тождество:
n^{2} + (n + 1)^{2} + … + (n + k)^{2} = (n + k + 1)^{2} + … + (n + 2k)^{2}.

2) Используя выведенную формулу n = 2k² + k = k(2k + 1) зависимости между числами n и k, составим разность 2k² + k − (2(k − 1)² + (k − 1)) = 4k − 1.

Это и означает, что последовательные разности чисел n = n(k) образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.

В самом деле, 10 − 3 = 7, 21 − 10 = 11, 36 − 21 = 15, …

При этом при необходимости легко вычислить последовательно по рекуррентной формуле первые числа тождеств: nₖ = nₖ₋₁ + 4k − 1.

Например, n₄ = n₃ + 16 − 1 = 21 + 15 = 36.

Но легче использовать формулу n = k(2k + 1) = 4(8 + 1) = 36.

Используя эту формулу, легко построить последующие тождества Рачинского. Например, при k = 4, тождество для девяти чисел:

36^{2} + 37^{2} + 38^{2} + 39^{2} + 40^{2} = 41^{2} + 42^{2} + 43^{2} + 44^{2} = 7230

3) S(k) = n² + (n + 1)² + … + (n + k)², где n = 2k² + k.

Понадобится известная формула для суммы квадратов первых k чисел:

1^{2} + 2^{2} + … + k^{2} = k(k + 1)(2k + 1) / 6

Получим следующую формулу:

S(k) = (24k⁵ + 60k^{4} + 50k^{3} + 15k^{2} + k) / 6

или

S(k) = k(k + 1)(24k^{3} + 36k^{2} + 14k + 1) / 6